Этимологический словарь Макса Фасмера
бай
I
"состоятельный, влиятельный человек", поволжск. (Мельников), отсюда фам. Баев. Заимств. из тур., крым.-тат., азерб., казах., кирг., туркм. bai "богатый, хозяин, предводитель, герой" (Радлов 4, 1421).
II
бай! – межд. убаюкивания, сюда же баю́, баю́кать. По мнению Эля (IF 57, 11 и сл.), звукоподражание, как и англ. bye, bye "убаюкивать"; ср. также ба́ю.