Больших Чисел Закон

Общий принцип, в силу к-рого совместное действие случайных факторов приводит при нек-рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное сначала, по-видимому, на азартных играх) может служить первым примером действия этого принципа. На рубеже 17 и 18 вв. Я. Бернулли [1] доказал теорему, утверждающую, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из к-рых вероятность наступления нек-рого события Аимеет одно и то же значение верно соотношение: при любом — число появлений события в первых писпытаниях, — частота появлений. Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном [2] на случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события Аможет зависеть от номера испытания. Пусть эта вероятность для k-го испытания равна и пусть Тогда Пуассона теорема утверждает, что . при любом Первое строгое доказательство этой теоремы было дано П. Л. Чебышевым (1846), метод к-рого полностью отличен от метода Пуассона и основан на нек-рых экстремальных соображениях; С. Пуассон выводил (2) из приближенной формулы для указанной вероятности, основанной на использовании закона Гаусса и в то время еще строго не обоснованной. У С. Пуассона впервые встречается и термин "закон больших чисел", к-рым он назвал свое обобщение теоремы Бернулли. Естественное дальнейшее обобщение теорем Бернулли и Пуассона вознпкает, если заметить, что случайные величины можно представить в виде суммы независимых случайных величин, где , если Апоявляется в А--м испытании, и — в противном случае. При этом математич. ожидание (совпадающее со средним арифметическим математич. ожиданий ) равно рдля случая Бернулли и для случая Пуассона. Другими словами, в обоих случаях рассматривается отклонение среднего арифметического величин Х k от среднего арифметического их математич. ожиданий. В работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867) было установлено, что для независимых случайных величин соотношение (при любом ) верно при весьма ^бщих предположениях. П. Л. Чебышев предполагал, что математич. ожидания все ограничены одной и той же постоянной, хотя из его доказательства видно, что достаточно требования ограниченности дисперсий или даже требования Таким образом, П. Л. Чебышев показал возможность широкого обобщения теоремы Бернулли. А. А. Марков отметил возможность дальнейших обобщений и предложил применять название Б. ч. з. ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли [и в частности, к (3)]. Метод Чебышева основан на точном установлении общих свойств математич. ожиданий и на использовании так наз. Чебышева неравенства[для вероятности (3) оно дает оценку вида эту границу можно заменить более точной, разумеется при более значительных ограничениях, см. Бернштейна неравенство]. Последующие доказательства различных форм Б. ч. з. в той или иной степени являются развитием метода Чебышева. Применяя надлежащее "урезание" случайных величин (замену их вспомогательными величинами именно: , если где — нек-рые постоянные), А. А. Марков распространил Б. ч. з. на случаи, когда дисперсии слагаемых не существуют. Напр., он показал, что (3) имеет место, если при нек-рых постоянных и всех и Аналогично доказывается теорема Хинчина (1929): если имеют одинаковые законы распределения и существует, то Б.