Чебышева многочлены

Чебыше́ва многочле́ны

1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т0 = 1; T1 = х; T2 = 2x2 ―1; T3 = 4x3 ― 3x; T4 = 8x4 ― 8x2 + 1. Ч. м. Tn (x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x2)―1/2. Дифференциальное уравнение:

(1 — x2) у" — ху + n2у = 0.

Рекуррентная формула: Tn+1(x) = 2xTn (х) — Tn―1(x).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов (См. Якоби многочлены) Pn (αβ)(x):

.

2) Ч. м. 2-го рода Un (x) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x2)1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x2) Un―1(х) = xTn (х) ― Tn+1(х).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.