Толковый словарь Даля
досни́ться
ДОСНИТЬСЯ безличн. Сон этот доснился мне через неделю. Доснуть, выспаться. Не доснешь, так и морит что-то. || О рыбе, умереть, уснуть. Доснулая рыба, сонная, снулая.