Эйри функции

Э́йри функции

Функции Ai (z) и Bi (z), являющиеся решениями дифференциального уравнения 2-го порядка

W" — zW = 0

(z — независимое переменное). Э. ф. от аргумента (—z) выражаются через Бесселя функции индекса ν = ± 1/3:

,

,

∣arg z∣ < 2π/3.

Асимптотические представления для больших ∣z∣:

,

∣arg z∣ ≤ 2π/3―δ,

,

∣arg z∣≤ π/3―δ.

Э. ф. играют важную роль в теории асимптотических представлений различных специальных функций; находят разнообразные применения в математической физике, например в теории дифракции радиоволн у земной поверхности. Рассмотрены Дж. Р. Эйри (J. R. Airey, 1911).

Лит.: Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.— JI., 1963.