Фредгольма уравнение

Фре́дгольма уравне́ние

Интегральные уравнения вида:

, (1)

a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 1-го рода) и

, (2)

a ≤ x, s ≤ b,

(Ф. у. 2-го рода), где К (х, s) — заданная непрерывная функция от x и s, называемая ядром уравнения, f (x) — заданная функция, φ(х) — искомая функция, λ — параметр (см. Интегральные уравнения). Уравнения (1) и (2) были изучены в 1900—1903 Э. Фредгольмом. Теория Ф. у. 2-го рода проще и они чаще используются в приложениях. Построение устойчивых решений Ф. у. 1-го рода в общем случае возможно лишь с помощью специальных регуляризирующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач. Если λ не является собственным значением (См. Собственные значения) уравнения (2), то это уравнение имеет единственное непрерывное решение, определяемое формулой:

, (3)

где R (x, s; λ) = D (x, s, λ)/D (λ) называется резольвентой (См. Резольвента) уравнения (2). Здесь

,

d0(x, s) = K (x, s),

,

,

, .

Лит.: см. при ст. Интегральные уравнения.