Фурье Интегральный Оператор

Интегральный оператор, обобщенное ядро к-рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см. [1], [2]) и при исследовании особенностей фундаментальных решений гиперболич. уравнений (см. [1], [2], [3]). I. Канонический оператор Маслова (КОМ). Пусть есть n-мерное лагранжево многообразие класса в фазовом пространстве где х и -объем на А. Каноническим атласом наз. локально конечное счетное покрытие многообразия ограниченными односвязными областями (картами), в каждой из к-рых в качестве координат можно взять либо переменные х, либо р, либо смешанный набор не содержащий сопряженных пар (pj, х j). КОМ действует из в Канонич. операторы вводятся следующим образом. 1) Пусть карта -неособая, т. е. задается уравнением р = р (х)и Здесь -параметр, -фиксированная точка, и функция 2) Пусть в карте локальные координаты суть р, т. е. задается уравнением х = х (р)и пусть Здесь F-1 есть -преобразование Фурье Аналогично определяется в случае, когда координаты в -набор Пусть и индекс Маслова для любого замкнутого пути l, лежащего на Вводится разбиение единицы класса на при и фиксируется точка КОМ определяется формулой и -индекс Маслова цепочки карт, соединяющих карты и Точка наз. неособой, если в ее окрестности задается уравнением р=р (х). Пусть пересечение карт непусто и связно, -неособая точка и -координаты в этих картах. Индексом Маслова пары карт наз. число где -число отрицательных собственных значений матрицы А. Индекс Маслова цепочки карт определяется по аддитивности. Аналогично определяется индекс Маслова ind l пути l. Индекс Маслова ind (mod 4) пути на лагранжевом многообразии есть целочисленный гомотопич. инвариант (см. [1], [3]). КОМ инвариантен относительно выбора канонич. атласа локальных координат в картах и разбиения единицы, в следующем смысле: если -два КОМ, то в для любой функции Важнейший результат теории КОМ — формула коммутации КОМ и -дифференциального (или -псевдодифференциального [3]) оператора. Пусть — дифференциальный оператор с действительным символом L( х, р )класса и выполнены условия: L( х, р)=0 на Многообразие и объем инвариантны относительно гамильтоновой системы Тогда справедлива формула коммутации (здесь где -производная в силу гамильтоновой системы. Следующие члены разложения (1) и оценки остаточных членов см. [3]. Уравнение наз. уравнением переноса. Из формулы коммутации следует, что если то функция есть формальное асимптотич. решение уравнения Метод КОМ позволил решить следующие задачи. 1) Построение асимптотики решения задачи Коши с быстроосциллирующими начальными данными в большом (т. е. за любое конечное время) для строго гиперболич. систем дифференциальных уравнений с частными производными, для систем Дирака, Максвелла, теории упругости, для уравнения Шрёдингера (см. [1], [9] — [6], а также Квазиклассические приближение), а также решения нек-рых смешанных задач [4]. 2) Построение асимптотики серий собственных значений самосопряженных дифференциальных операторов, ассоциированных с инвариантными относительно соответствующей гамильтоновой системы лагранжевыми многообразиями (см. [1], [3]). 3) Построение асимптотич. разложения по гладкости фундаментального решения строго гиперболич. системы уравнений с частными производными (см. [1], [5], [6]). 4) Построение коротковолновой асимптотики функции Грина, решения задачи о рассеянии и амплитуды рассеяния для уравнения Шрёдингера асимптотики спектральной функции (см. [5] — [7]). Развит новый вариант КОМ на лагранжевых многообразиях с комплексным ростком (см. [8], [9]). II. Интегральный оператор Фурье (ИОФ). Пусть X, Y — ограниченные области в N=N1 + N2, и ИОФ наз. оператор Здесь (фазовая функция) — действительная и положительно однородная по порядка 1, и при Функция (символ) и в простейшем случае разлагается при в асимптотич. ряд Интеграл (2) сходится после соответствующей регуляризации и определяет непрерывный линейный оператор Ядро оператора Аравно Функция и бесконечно дифференцируема вне проекции на множества Особенности Кзависят только от тейлоровского разложения символа рвокрестности С(при фиксированной фазе Пусть фаза невырождена, т. е. дифференциалы линейно независимы на С';тогда С — гладкое многообразие размерности п. Оператору Аотвечает гладкое, коническое (по переменному двойственному к z =(x, у ))лагранжево многообразие размерности n-образ Спри отображении В дальнейшем оператор Арассматривается на плотностях и(у)порядка 1/2: т. е. при замене переменных Символу рставится в соответствие плотность порядка 1/2 на к-рая является образом при отображении (3), где и — координаты на первого порядка однородности по перенесенные с помощью (3) на С. Плотность bпри разлагается в асимптотич. ряд коэффициент b0 наз. главным символом оператора А. Пусть оператор Апредставим в виде (2), но с другой невырожденной фазовой функцией и с другим символом Тогда для этого представления многообразие остается прежним, величина постоянна, а главный символ равен Общее определение ИОФ таково. Пусть X, Y- гладкие многообразия размерности N1, N2 и -конич. гладкое лагранжево многообразие размерности п = N1+N2. Для любой точки существует невырожденная фазовая функция такая, что построенное по ней лагранжево многообразие локально совпадает с Пусть — множество объектов, состоящих из: а) локальных координатных окрестностей с локальными координатами z =(x, у); б) целого числа N и невырожденной фазовой функции определенной в и такой, что отображение есть диффеоморфизм на открытое подмножество ИОФ наз. оператор где А j имеет вид (2), N = Nj, и носитель символа р= pj содержится в множестве К j — компакт в Класс таких операторов Aобозначают I т(L). Пусть -множество однородных порядка по плотностей на порядка 1/2. По главным символам операторов AJ естественным образом строится главный символ оператора А, так что отображение есть изоморфизм (см. [2], [14]). Наиболее важным для приложений ИОФ к дифференциальным уравнениям с частными производными является случай, когда проекции — локальные диффеоморфизмы. Тогда N1=N2. и плотность d С -равна и ограничен оператор Так же, как и для КОМ, для ИОФ есть формулы коммутации с дифференциальными операторами со всеми вытекающими из них следствиями. Локально ИОФ можно представить в виде интеграла по параметру от КОМ (см. [10]). ИОФ применяется: 1) Для построения параметрикса и изучения микролокальной структуры особенностей (волновых фронтов) решений, гиперболич. уравнений, уравнений главного типа и краевых задач (см. [2], [14]). 2) При исследовании вопроса о локальной и глобальной разрешимости и субэллиптичности уравнений (см. [12]). 3) Для получения асимптотики спектральной функции псевдодифференциальных операторов (см. [13]). Лит.:[1] Маслов В. II., Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965; [2] Xёрмандер Л., лМатематика