Фурье — Стилтьеса Преобразование

Одно из интегральных преобразований, родственное Фурье преобразованию. Пусть функция F(х)имеет ограниченное изменение на Функция наз. преобразованием Фурье — Стилтьеса для F. Функция определенная интегралом (1), ограниченна и непрерывна. Всякая периодич. функция разлагающаяся в ряд Фурье с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов, может быть записана в форме интеграла (*) с Формула (*) допускает обращение: если F(х)имеет ограниченное изменение и то где интеграл понимается в смысле главного значения на Если в формуле (*) в качестве функции F(х)допустить лишь неубывающие функции ограниченной вариации, то совокупность получающихся непрерывных функций полностью характеризуется свойством: для любой системы действительных чисел t1,. . .,tn справедливо неравенство каковы бы ни были комплексные числа (теорема Бохнера — Xинчина). Такие функции наз. положительно определенными. Ф.-С. п. находит широкое применение в теории вероятностей, где неубывающую функцию подчиняют дополнительным ограничениям непрерывна слева, и именуют распределением, функцию — характеристической функцией [распределения Р(х)].Теорема Бохнера-Хинчина выражает тогда необходимое и достаточное условие того, что непрерывная функция Ф(х)[для к-рой Ф(0)=1] является характеристической функцией нек-рого распределения. Теория Ф.-С. п. развита и в n-мерном случае. Лит.:[1] Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1962; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ.. т. 2, М., 1965; [3] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969. П. И. Лизоркин.