Главный G-объект

В топологизированной категории — понятие теории категорий, частные случаи которого — главное расслоение втопологии, главное однородное пространство в алгеб-раич. геометрии и др. Пусть G — групповой объект категории С с произведениями и финальным объектом е. Объект Рназ. G-объектом, если определен морфизм я: , для к-рого коммутативны следующие диаграммы: Здесь — морфизм группового закона на G, а — морфизм единичного элемента G. Более точно, введенные выше G-объекты наз. правыми G-объектами, аналогично дается определение левых G-oбъектов. Примером G-объекта может служить сам групповой объект G, для к-рого отображение совпадает с отображением p. Такой объект наз. тривиальным G-oбъектом. G-объекты категории Собразуют подкатегорию , морфизмами в к-рой служат морфизмы, перестановочные с морфизмами . G-объект наз. формально главным G-oбъектом, если морфизмы и индуцируют изоморфизм . Если Т — некоторая топология Гротендика на категории С, то формально главный G-объект Рназ. главным G-объектом (относительно топологии Т), если существует покрытие финального объекта такое, что для любого произведение изоморфно ривиальному -объекту. Примеры. 1) Если С — категория множеств, а G — группа, то непустые G-объекты наз. G-множествами. Это множества Р, для к-рых задано такое отображение что для любых имеет место и для любого верно есть G-множество, в к-ром для любых р, существует единственный элемент такой, что (главное однородное G-множество). Если Рне пусто, то выбор определяет отображение , к-рое устанавливает изоморфизм Ри тривиального G-множества G. Тем самым в любой топологии формально главный G-объект является главным G-объектом. 2) Если X — дифференциируемое многообразие, H — группа Ли, то, взяв за Скатегорию расслоений над X, за групповой объект G проекцию и определив топологию в G с помощью семейств открытых покрытий, можно получить определение главного G-расслоения. Если Р — формально главный G-объект категории С, то для любого объекта X категории множество либо пусто, либо является главным однородным -множеством. G-объект Ризоморфен тривиальному G-объекту тогда и только тогда, когда существует сечение . Множество классов G-объектов (относительно отношения изоморфизма между ними) обозначается через В случае, когда G — абелев групповой объект, множество с отмеченной точкой, соответствующей классу тривиальных G-объектов, является группой и вычисляется стандартными средствами гомологич. алгебры. В общем случае вычисления используют конструкции когомологий Чеха (см. Неабелевы когомологии). Лит.:[1] Revetements etales et groupe fondaraental. В., 1971 . И. В. Долгачев.