Хи-квадрат распределение

Хи-квадра́т распределение

(«Хи-квадра́т» распределе́ние)

с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов

χ2= X12+...+Xf2,

независимых случайных величин X1,..., Xf, подчиняющихся нормальному распределению (См. Нормальное распределение) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом

,

Первые три Момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы χ2 равны соответственно f, 2f, 8f. Сумма двух независимых случайных величин χ12 и χ22, с f1 и f2 степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f1 + f2 степенями свободы.

Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению (См. Рэлея распределение) и Максвелла распределению (См. Максвелла распределение). В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение:

.

Если количество слагаемых f суммы χ2 неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме (См. Предельные теоремы) распределение нормированного отношения сходится к стандартному нормальному распределению:

,

где

.

Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления Ff (x) при больших значениях f:

В математической статистике «Х.-к.» р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y1,..., Yn — случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а, причём ошибки измерений Yi — а независимы, распределены одинаково нормально и

Е (Yi — a) = 0, Е (Yi — а)2= σ2,

то статистическая оценка неизвестной дисперсии σ2 выражается формулой

,

где

, .

Отношение S2/σ2 подчиняется «Х.-к.» р. с f = n — 1 степенями свободы. Пусть x1 и x2 — положительные числа, являющиеся решениями уравнений Ff (x1) = α/2 и Ff (x2) = 1 — α/2 [α — заданное число из интервала (0, 1/2)]. В таком случае

Р {х1 < S2/σ2 < x2) = Р {S2/x2 < σ2 < S2/x1} = 1—α.

Интервал (S2/x1, S2/x2) называют доверительным интервалом для σ2, соответствующим коэффициенту доверия 1 — α. Такой способ построения интервальной оценки для σ2 часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой σ2 = σ02(σ02 — заданное число): если σ02 принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе σ2 = σ02. Если же

σ02 ≤ S2/x2 или σ02 ≥ S2/x1,

то нужно считать, что σ2 > σ02 или σ2 < σ02 соответственно. Такому критерию отвечает Значимости уровень, равный α.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

Л. Н. Большев.