Этимологический словарь Крылова
изгой
Это существительное, называющее человека, от которого отвернулось общество, образовано от глагола изгоити (в диалектах еще известного в значении "поправить, починить, уладить"), в свою очередь образованного от гоити – "давать жить". Общеславянское гоити образовано от существительного гои – "лекарство", восходящего к той же основе (но с другой корневой согласной – г/ж), что и глагол жить. Первоначально существительное изгой означало "человек, лишенный средств к существованию".