Этимологический словарь Макса Фасмера
ку́читься
"надоедать просьбами, докучать", вост.-русск. (также у Мельникова), кучко́ "назойливый человек", арханг. (Подв.). От ку́ка I, ску́ка; см. Соболевский, РФВ 66, 343; Преобр. I, 406.
кучиться