Линейный функционал

Лине́йный функционал

Обобщение понятия линейной формы (См. Линейная форма) на линейные пространства (См. Линейное пространство). Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),

где х и у — любые элементы из Е, α и β — числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Е; выражение называют нормой f и обозначают .

В пространстве С [a, b] функций α(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой Л. ф. являются, например, выражения:

,

f2[((t)] = ((t0), a ( t0 ( b.

В гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.

Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство E̅, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство E̅ называют сопряжённым к E̅; это пространство играет большую роль при изучении Е.

С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.