Многолистная Функция

Понятие, естественным образом обобщающее понятие однолистной функции. Функция , регулярная или мероморфная в области Dкомплексной плоскости z, наз. р-листной в D(р=1, 2, ...), если она принимает в этой области каждое свое значение не более рраз, т. е. если число корней уравнения в области Dпри любом w не превосходит р. Геометрически это означает, что над каждой точкой плоскости wлежит не более рточек римановой поверхности, на к-рую функция отображает область D. При р=1 функция f(z) является однолистной в области D. Наряду с этим простейшим классом р-листных функций большую роль в теории М. ф. играют функции, р-листные в нек-ром обобщенном смысле, "р-листные в среднем". Пусть функция регулярна или мероморфна в области Dплоскости z,- число корней уравнения в Dи р — положительное число. Функция наз. р-листной в среднем по окружности в D, если для всех выполняется условие: Геометрически это означает, что линейная мера дуг, принадлежащих римановой поверхности, на к-рую функция отображает область D, и проектирующихся в любую окружность , не превосходит р длин таких окружностей. Функция f(z) наз. р-листной в среднем по площади в D, если для всех . Геометрически это означает, что площадь проектирующейся в любой круг части римановой поверхности, на к-рую функция отображает область D, не превосходит р площадей таких кругов. Из этих определений следует, что функция, р-листная в нек-рой области, является в ней и р-листной в среднем по окружности, а функция, р-листная в среднем по окружности, является р-листной в среднем по площади. Функция, р-листная в среднем, может оказаться бесконечнолистной. М. ф., как и однолистные, изучаются в различных направлениях: с точки зрения характеристики искажения области при ее отображениях этими функциями, оценки коэффициентов рядов, представляющих эти функции, и т. д. Они обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций. Напр., имеются следующие обобщения на случай р-листных функций двух классич. результатов теории однолистных функций — площадей принципа и оценки второго коэффициента (см. Вибербаха гипотеза). Если функция р-листна и регулярна в области , за исключением полюса в точке , то Если функция регулярна и р-листна в круге |z|<1, то Неравенства (2) и (4) не могут быть улучшены. Эти два результата относятся к наиболее ранним основным результатам теории р-листных функций. Неравенство (2) доказано также для функций вида (1), р-листных в среднем по площади в , а неравенство (4) — для функций вида (3), р-листных в среднем по площади в Значительно продвинуть исследование класса р-листных функций позволило рассмотрение его как подкласса функций, р-листных в среднем. Получены для р-листных функций и точные аналоги основных теорем искажения и покрытия, известных для однолистных функций (см. Искажения теоремы, Покрытия теоремы), именно: для функций f(z) вида (3), р-листных в среднем по окружности в круге |z|<1, верны точные оценки: функция f(z)принимает в |z|<l каждое значение wс ровно р раз (прямой аналог теоремы покрытия Кебе). Этим последним свойством обладают и функции вида (3), р-листные в среднем по площади в . Для функций, р-листных в среднем по окружности, получен ряд неулучшаемых результатов, характеризующих рост их коэффициентов. Так, для функции вида р-листной в среднем по окружности в круге , , существует, и притом конечный, предел и при Всякий раз, когда получается оценка для , отсюда следует и соответствующая точная оценка асимптотич. роста коэффициентов. В частности, если имеет вид (3), то последнее равенство принимает вид где , за исключением того случая, когда (- вещественно). Далее, для функций вида (3), р-листных в среднем по окружности в круге , получена точная оценка: а для подкласса р-листных функций такого вида была указана точная оценка и следующего коэффициента: Два последних неравенства являются для М. ф. аналогами оценок и , известных для однолистных функции (см. Бибербаха гипотеза). Так. для . Функция f(z)принадлежит классу , если она регулярна в круге и если существует такое , что для . Для функций этих двух классов получен ряд точных оценок. Классы и оказываются подклассами более широкого класса р -листных функций — функций р-листно близких к выпуклым. Функция регулярная в круге , наз. р-листно близкой к выпуклой, если она удовлетворяет одному из следующих условий: (А) существуют функция и число такие, что (Б) F(z)регулярна на |z|=l и существует функция , также регулярная на |z| = l, такая, что на |z| = l выполняется неравенство (13). Для функций F(z)этого класса найдены точные оценки снизу и сверху |F'(z)|и доказана справедливость неравенства (12) — при n=p+l для всех функций этого класса и при всех для его функций с вещественными коэффициентами. Точные оценки, обобщающие нек-рые результаты для ограниченных однолистных функций, получены и для ограниченных функций, р-листных в соответствующем обобщенном смысле. Так, был найден радиус р-листности в классе регулярных и ограниченных в круге функций, именно: если функция f(z)регулярна и ограничена по модулю единицей в круге |z|<l, нормирована условиями то радиус р наибольшего круга , в к-ром она р-листна, определяется из уравнения Эта теорема обобщает на случай р>1 теорему Ландау о радиусе однолистности функций, регулярных и ограниченных в круге . Известны различные достаточные условия для того, чтобы функция, регулярная в области, была в ней р-листной. Напр., если регулярна в выпуклой области D и существуют такое вещественное и такое целое что то f(z) р -листна в D, М. ф. исследуются также и в многосвязных областях. Многие оценки здесь выражаются через функции, отображающие данную мвогосвязную область на канонические римановы поверхности, и через Бергмана керн-функцию. Первым основным результатом, относящимся к вопросу существования конформных отображений многосвязной области на многолистные канонич. поверхности, явилась следующая теорема Грунского: пусть D- конечносвязная область плоскости z с внутренней точкой и с отличными от точек граничными компонентами и — любой заданный полином степени ; тогда для любого заданного , существует единственная функция , регулярная в области D, за исключением полюса в , главная часть к-рой в (с включением в нее свободного члена) совпадает с н к-рая ставит в соответствие каждой граничной компоненте области Dпрямолинейный отрезок наклона к вещественной оси. Иначе говоря, функция отображает область Dна полную р-листную плоскость wс параллельными разрезами наклона . Доказано существование конформных отображений данной конечносвязной области и на другие канонические многолистные поверкности; установлены экстремальные свойства М. ф., аналогичные нек-рым экстремальным свойствам однолистных функций. Выявлен просто характеризуемый геометрически наиболее общий класс М. ф., мероморфных в конечно-связной области, для к-рых верна теорема площадей. Основными методами исследования М. ф. являются: контурного интегрирования метод, симметризации метод, метод квадратичных дифференциалов. Вариационный метод в теории М. ф. менее эффективен, чем в теории однолистных функций. Лит.:[1] Голузин Г. М., "Матем. сб.", 1940, т. 8, в. 2, с. 277-83; [2] Xейман В. К., Многолистные функции, пер. с англ., М., 1960; [3] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [4] Pethe К., "Bull. Acad. Polon. Sci.", 1372, v. 20, № 3, p. 219-20; [5] Livingston A. E., "Trans. Amer. Math. Soc", 1965, v. 115, № 3, p. 161-79; [6] Leасh R. J., "Pacific J. Math.", 1978, v. 74, №1, p. 133-42; [7] Кrzуz J., "Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sec. A", 1958, v. 12, № 2, p. 23-28, № 3, p. 29-38; [8] Оzaki S., "Sci. Rep. Tokio Bunrika Daigaku", A, 1935, v. 2, № 40, p. 167-88; [9] Аленидын Ю.