Наилучшее приближение

Наилу́чшее приближение

Важное понятие теории приближения функций. Пусть f (x) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке [а, b], a φ1(x), φ2(x),..., φn (x) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения:

|f (x) — a1φ1(x) — a2φ2(x) -... — anφn (x)| (*)

на отрезке [а, b] называется уклонением функции f (x) от полинома

Pn (x) = a1φ1(x) + a2φ2(x) +... + anφn (x),

а минимум уклонения для всевозможных полиномов Pn (x) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a1, a2,..., an) — наилучшим приближением функции f (x) посредством системы φ1(x), φ2(x),..., φn (x); Н. п. обозначают через En (f, φ). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином P*n (x, f), для которого уклонение от функции f (x) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f (x) (на отрезке [а, b]).

Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f (x), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f (x) от полинома Pn (x) понимается не максимум выражения (*), а, например,

См. Приближение и интерполирование функций.