Остроградского метод

Острогра́дского метод

Метод выделения рациональной части неопределённого интеграла

где Q (x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х) — многочлен степени m ≤ n — 1.

О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией (См. Рациональная функция) переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство

(1)

где Q1, Q2, P1, P2 — многочлены степеней соответственно n1, n2, m1, m2, причём n1 + n2= n, m1 ≤ n1 — 1, m2 ≤ n2 — 1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q1(x) является наибольшим общим делителем (См. Наибольший общий делитель) многочленов Q (x) и , и, следовательно, явное выражение Q1(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество

. (2)

Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и P2(x) Неопределённых коэффициентов методом.

О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским (См. Остроградский).

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.