Этимологический словарь Макса Фасмера
пажить
па́жить
ж., др.-русск., ст.-слав. пажить λειμών (Супр.), чеш. раžit м. "луг", слвц. раžit᾽. Из па- и жить; см. Ягич, AfslPh 18, 267; Траутман, ВSW 76. Ср. живу́, жить.
••
[Абаев (Ист.-этимол. словарь I, 466 и сл.) сближает специально па́жить (диал. па́жа) с ир. *рāzаh, др.-инд. рājаs "поверхность", осет. fæz, fæzæ "ровное, покрытое травой поле, равнина, выгон", что вряд ли верно ввиду словообразовательной прозрачности слав. слов. – Т.]