Первый интеграл

Пе́рвый интеграл

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, i = 1, …, n

— соотношение вида

(где С — произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y1 = y1(x),..., yn= yn (x) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения). Геометрически П. и. представляет собой семейство гиперповерхностей в (n + 1)-мерном пространстве Oxy1... yn, на каждой из которых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Например, одним из П. и. системы , является y2 + x2 = C2 (круговые цилиндры); интегральные кривые у = Csin (x — x0), z = Ccos (x—x0) суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис.). Если известно k независимых П. и. Фi (x1, y1,..., уп) = Ci (i = 1,..., k; k < n) системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то Общий интеграл системы получается без интегрирования.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Первый интеграл.