Подобие
Преобразование евклидова пространства, при к-ром для любых двух точек А, В и их образов А', В' имеет место соотношение |A'B'|=k|AB|, где k — положительное число, называемое коэффициентом П. Каждая гомотетия является подобием. Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование П. с коэффициентом k, равным единице. Фигура Fназ. подобной фигуре F', если существует преобразование П., при к-ром . П. фигур является отношением эквивалентности, т. е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. П. есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя; П. сохраняет порядок точек на прямой, т. е. если точка Влежит между точками А, С и В', А', С' — соответствующие их образы при нек-ром П., то В' также лежит между точками А' и С';точки, не лежащие на прямой, при любом П. переходят в точки, не лежащие на одной прямой. П. преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность. При П. угол сохраняет величину. П. с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом kили -k. Каждое П. можно рассматривать как композицию движения Dи нек-рой гомотетии Г с положительным коэффициентом. П. наз. собственным (несобственным), если движение Dявляется собственным (несобственным). Собственное П. сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную. Аналогично определяется П. (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах. В n-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах П. определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя. Совокупность всех П. n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r-членную группу преобразований Ли, наз. группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r-членная группа подобных преобразований Ли содержит (r-1 )-членную нормальную подгруппу движений. Представляют интерес метрич. пространства векторных плотностей с группами П. и изометрий, содержащими бесконечномерные подгруппы изометрий с общими траекториями. И. П. Егоров.