Прикосновения преобразования

Прикоснове́ния преобразования

Касательные, или контактные, преобразования, преобразования кривых на плоскости, при которых две касающиеся друг друга кривые преобразуются в две другие кривые, также касающиеся друг друга. П. п. определяются формулами:

X = f (х, у, у'); Y = φ (х, у, у'), (*)

где х, у — координаты переменной точки кривой, a X, Y — координаты переменной точки её образа. Для того чтобы формула (*) определяла П. п., Y' = dY/dX должно быть независимо от у’’ = d2y/dx2. Примером П. п. могут служить точечные преобразования, определяемые формулами: X = f (x, y); Y = φ(x, y), а также Лежандра преобразование.

П. п. применяются в теории дифференциальных уравнений и в дифференциальной геометрии. Общая теория П. п. была развита С. Ли. Аналогичным образом определяются П. п. поверхностей в пространстве.

Лит.: Гурса Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 3 изд., т. 1, М. — Л., 1936; Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. — Л., 1947.