Равномерная непрерывность

Равноме́рная непрерывность

Важное понятие математического анализа. Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что |f (x1) — f (x2)|<�ε для любой пары чисел x1 и x2 из данного множества, удовлетворяющей условию |x1—x2|< δ (ср. Непрерывная функция). Например, функция f (x) = x2 равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если , то (так как для 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1 обязательно |x1 + x2|≤ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

Так, например, функция непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при ε = 1 для любого δ > 0 (δ < 1) мы имеем удовлетворяющие неравенству |x1— x2| < δ числа x1 = и x2= δ , для которых .