Этимологический словарь Макса Фасмера
разгильдяй
разгильдя́й
Образовано аналогично разгуля́й "увеселительное место", растрепа́й "растрепа, оборванец", т. е. от повел. формы (Преобр. II, 175). Возм., связано с гиль "путаница", первонач., возм., "расшевели-ка"?
••
[Иначе, от тат. собств. Уразгильды, Уразгильдей, а также Разгильдей, Разгильдяй, объясняет это слово Попов (Из истории лексики языков Вост. Европы, Л., 1957, стр. 35). – Т.]