Сигма-функции

Си́гма-функции

Целые Трансцендентные функции, введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция

где ω = 2mω1 + 2nω2, ω1 и ω2 — два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m = n = 0. Функция σ(z) имеет простые нули при z = ω, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решётку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2ω1, 2ω2, 2 (ω1 + ω2) параллельными переносами вдоль его сторон.

При помощи функции σ(z) могут быть определены дзета-функция ξ(z) и эллиптическая функция ℙ(z) Вейерштрасса:

, .

Обозначим ω3 = — ω1 — ω2, ξ(ωk) = ηk, k =1, 2, 3.

Формулы

, k = 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции σ(z). Равенства

, k = 1, 2, 3,

определяют остальные три С.-ф. Имеем σ(0) = 0, σk (0) = 1, k = 1, 2, 3. Функция σ(z) является нечётной, а три остальные С.-ф. — чётные.

Любая эллиптическая функция (См. Эллиптические функции) f (z) с периодами 2ω1 и 2ω2 может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле

,

где С — постоянная, a1,..., cr и b1,..., br — соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию a1 +... + ar = b1 +... + br.

С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями (См. Тэта-функции).

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.