Смешанных Объемов Теория

Раздел теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел (см. Сложение множеств). Объем Vлинейной комбинации выпуклых тел К i в евклидовом пространстве с коэффициентами является однородным многочленом степени потносительно Коэффициенты Vi1....in предполагаются симметричными относительно перестановок индексов и обозначаются V( К i1,. . ., К in), поскольку они зависят только от тел К i1,. . ., К in; эти коэффициенты наз. смешанными объемами (с. о.) тел К i1, . . ., К in Значение С. о. т. связано с универсальностью понятия с. о.: при подстановке в V( К, К1,..., Kn-1) конкретных тел К 1,..., Kn-1 получаются многие величины, связанные с телом К. В их числе: объем, площадь поверхности, интеграл по поверхности от элементарной симметрич. функции главных кривизн (в случае C2 -гладкого тела), а также соответствующие характеристики проекции тела на i-мерную плоскость, 0<i<n. Частным случаем разложения (*) является разложениe Штейнера для объемов параллельных тел в где V — объем, S — площадь поверхности, В — интегральная средняя кривизна исходного тела, — объем его -окрестности. С. о. V( К 1,. . ., К п )инвариантен относительно параллельных переносов любого тела К i, монотонен (по включению тел), непрерывен и неотрицателен;V( К 1, . . ., К п)>0тогда и только тогда, когда в каждом К i можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейнонезависимы (см. [1]). Если К' — проекция Кна гиперплоскость, ортогональную единичному отрезку е, то Объем проекции тела Кна р-мерное подпространство наз. р-й внешней поперечной мерой. Соотношения между средними значениями Wp (К)этих мер — один из объектов интегральной геометрии. Функционалы Wp(K)с точностью до множителя совпадают с р-ми интегралами кривизны: где U — единичный шар. Для С 2 -гладких строго выпуклых тел с. о. Vp(K),0<р<n, равен интегралу от р-й элементарной симметрич. функции Dp главных радиусов кривизны, рассматриваемой как функция нормали на сфере Sn-1. В случае общих выпуклых тел Vp(K) есть полное значение определяемой ниже меры на Sn-l, называемой функцией кривизны. (В гладком случае Dp есть плотность Подобно тому как объем тела Кесть интеграла от его опорной функции К (и)по его поверхностной функции, т. е. по площади поверхности, перенесенной на Sn-1 сферическим отображением, так и с. о. n тел представим интегралом от опорной функции К 1 (и)одного из них по нек-рой мере на Sn-1, зависящей от остальных тeл и называемой смешанной поверхностной функцией тел К 2,. . ., Kn: Функция кривизны определяется равенством Основным содержанием С. о. т. являются неравенства между с. о. (см. [2], [3]). В их числе — неравенство Минковского и квадратичное неравенство Минковского Эти неравенства тесно связаны с Брунна — Минковского теоремой, справедливой не только для выпуклых тел. Обобщает эти неравенства Александрова — Фенхеля неравенство, допускающее следующую модификацию (см. [2]): В частности, Полная система неравенств, характеризующая с. о. V(K1,..., К п), получена для двух тел, в связи с этим установлены нек-рые более общие неравенства (см. 14]) Многие геометрич. неравенства, напр. изопериметрическое неравенство классическое и ряд его уточнений, являются для выпуклых тел частными случаями неравенств для с. о.; экстремум одного из функционалов Vp(K)при фиксации другого из них достигается для шара. Неравенства С. о. т. использованы при доказательстве единственности решения обобщенной проблемы Минковского (см. [2]), устойчивости в проблемах Минковского (см. [5]) и Вейля (см. [6]), при решении проблемы Ван дер Вардена о перманенте (см. [7]). Бесконечномерный аналог понятий С. о. т. нашел применение в теории гауссовских случайных процессов (см. [7]). С. о. т. оказалась глубоко связанной с алгебраич. геометрией. Многочлену f(z1;. . ., zn) от пкомплексных переменных сопоставляют многогранник Ньютона Для этого каждому одночлену входящему в f с ненулевым коэффициентом, сопоставляется точка многогранник есть выпуклая ооолочка этих точек. Типичное число решений системы полиномиальных уравнений f1=. . .=fn=0 равно деленному на п! с. о. многогранника Эта связь позволила, в частности, дать алгебраич. доказательство неравенства Александрова — Фенхеля (см. [10]). В С. о. т. выпуклое тело отождествляют с его опорной функцией; допускается распространение на разности этих функций, а затем — на произвольные непрерывные функции на сфере (см. [2], [9]). Из аналогичного разложения для вектора центра тяжести тела умноженного на объем этого тела, определяются т.