Совершенное Кольцо

Левое — ассоциативное кольцо, каждый левый модуль над к-рым обладает проективным накрытием. Правое совершенное кольцо определяется аналогично. Левое С. к. может и не быть правым С. к. Эквивалентны следующие свойства кольца R: (1) R — левое С. к.; (2) каждое множество попарно ортогональных идемпотентов кольца R конечно и каждый ненулевой правый R-модуль имеет ненулевой цоколь; (3) Rудовлетворяет условию минимальности для главных правых идеалов; (4) R удовлетворяет условию минимальности для конечно порожденных правых идеалов; (5) каждый правый R-модуль удовлетворяет условию минимальности для конечно порожденных подмодулей; (6) радикал Джекобсона J кольца R исчезает справа (т. е. для любой последовательности а 1, a2,. . . элементов из J найдется такой номер п, что произведение a1. . . an=0) и факторкольцо R/J классически полупросто; (7) каждый плоский левый R-модуль проективен; (8.) R содержит такие идемпотенты e1;. . ., е n, что при и е iRе i — локальное кольцо для каждого i; (9) каждый левый R-модуль удовлетворяет условию максимальности для циклич. подмодулей; (10) для каждого га каждый левый R-модуль удовлетворяет условию максимальности для n-порожденных подмодулей; (11) каждый проективный левый R-модуль допускает разложение, относительно к-рого дополняемы все прямые слагаемые (см. Крулля — Ремака — Шмидта теорема). Кольцо матриц над С. к. является С. к. Идемпотентные идеалы С. к. порождаются идемпотентами, центральными по модулю радикала. Групповое кольцо RG является С. к. тогда и только тогда, когда R — С. к., а группа Gконечна. Кольцо всех эндоморфизмов абелевой группы Аоказывается С. к. в том и только в том случае, когда Аразлагается в прямую сумму конечной группы и конечного числа экземпляров аддитивной группы рациональных чисел. Локальные С. к. характеризуются возможностью дополнения до базы каждой линейно независимой подсистемы любого свободного левого модуля. Эквивалентны также следующие свойства: (1) R — С. к. и все его факторкольца самоинъективны; (2) все факторкольца кольца R квазифробениусовы; (3) все факторкольца кольца R кообразующие; (4) Rv — однорядное кольцо. Лит.:[1] Каш Ф., Модули и кольца, пер. с нем., М., 1981; [2] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977 — 79; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 19, М., 1981, с. 31 — 134 (см. также указанные там предыдущие обзоры по теории модулей). Л. А. Скорняков.