Ультраэллиптические интегралы и функции

Квадратуры вида: , где Χ есть целый полином степени выше четвертой относительно x, a F — какая-либо рациональная функция от x и √x называются У. или гиперэллиптическими интегралами.

Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.

Если Χ есть полином 5-й-или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:

x = (a + by)/(c + fy)

всегда возможно интеграл с полиномом Χ шестой степени относительно x привести к интегралу с полиномом Y пятой степени относительно у.

Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:

где R = x(1 — x)(1 — χ2x)(1 — λ2x)(1 — μ2x), а величины a, α, β, χ, λ, μ — постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной х.

Если интеграл 1-го класса приводится к виду

то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при х = ∞. Интеграл, приводящийся к виду:

называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается в бесконечность логарифмически при x=a.

Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений

то х1 и x2, как функции от u1 и и2 суть корни квадратного уравнения:

Nx2+ mx + L = 0,

в котором N, М и L суть однозначные функции от и1 и и2.

Якоби показал, что L, M и N суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим и1 и и2 через

и1+ n1A1+ n2B1+ n3C1+ n4D1

и2+ n1A2+ n2B2+ n3C2+ n4D2

где п1, п2, п3, п4 суть какие-либо целые числа, a A1, В1,С1, D1 и А2, В2, С2, D2 периоды двух интегралов в равенствах (2).

Требовалось определить те функции от и1 и и2, которые выражали бы х1 и x2 и соответствующие им значения √R(x1) и √R(x2), удовлетворяющие уравнениям (2).

Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями Θ (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.

Функция Θ от двух аргументов и1 и и2 выражается двойным бесконечным рядом.

где:

z = 2(n1+ g1/2)(u1+[h1/2]πi) + 2(n2+ g2/2)(u2+ [h2/2]πi)

Ф = (n1+ g1/2)2τ11+ 2(n1+ g1/2)(n2+ g2/2)τ12+ (n2+ g2/2)2τ22

и где, в сумме, целые числа п1 имеют всевозможные величины от —∞ до +∞ и целые числа п2 имеют всевозможные величины от —∞ до +∞. Величины g1, g2, h1, h3, τ11, τ12, τ22 суть постоянные.

Совокупность постоянных g1, g2, h1, h2 называется характеристикою функций Θ. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций Θ, а именно соответствующих характеристикам:

и т. д., при которых g1, g2, h1, h2 суть либо нули, либо единицы.

Функция Θ с характеристикой обозначается просто через Θ(u1u2).

По изучении свойств этих функций Θ оказалось, что х1 и x2, а также √R(x1) и √R(x2) выражаются рационально в функциях Θ от двух аргументов и1 и u2.

Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций Θ от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.

Д. Б.